k вершин правильного n-угольника закрашены. Закраска называется почти равномерной, если для любого натурального m верно следующее условие: если M₁ – множество m расположенных подряд вершин и M₂ – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в M₁ отличается от количества закрашенных вершин в M₂ не больше чем на 1. Доказать, что для любых натуральных n и  k ≤ n  почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множества.

   Решение

Темы:    [ Произведения и факториалы ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Через n!! обозначается произведение  n(n – 2)(n – 4)...  до единицы (или до двойки): например,  8!! = 8·6·4·2;  9!! = 9·7·5·3·1.
Докажите, что  1985!! + 1986!!  делится на 1987.

Решение

1985!! ≡ 1·3·...·1985 ≡ (–1986)·(–1984)·...·(–2) ≡ – 1986!! (mod 1987).

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования