Для данного многочлена P(x) опишем способ, который позволяет построить многочлен R(x), который имеет те же корни, что и P(x), но все кратности 1. Положим  Q(x) = (P(x), P'(x))  и  R(x) = P(x)Q^–1(x).  Докажите, что
  а) все корни многочлена P(x) будут корнями R(x);
  б) многочлен R(x) не имеет кратных корней.

   Решение

Дана пирамида SA₁A₂...A_n, основание которой – выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. Для каждого  i = 1, 2, ..., n  в плоскости основания построили треугольник X_iA_iA_i+1, равный треугольнику SA_iA_i+1 и лежащий по ту же сторону от прямой A_iA_i+1, что и основание (мы полагаем  A_n+1 = A₁).  Докажите, что построенные треугольники покрывают всё основание.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы:

Прислать комментарий

Условие

Окружность k проходит через вершины B и C треугольника ABC  (AB > AC)  и пересекает продолжения сторон AB и AC за точки B и C в точках P и Q соответственно. Пусть AA₁ – высота треугольника ABC. Известно, что  A₁P = A₁Q.  Докажите, что угол PA₁Q в два раза больше угла A треугольника ABC.

Решение

Поскольку  ∠A₁AP = 90° – ∠ABC = 90° – ∠AQP,  луч AA₁ проходит через центр O описанной окружности треугольника APQ (см. рис.). Этот центр также лежит на серединном перпендикуляре l к отрезку PQ. Поскольку  AB ≠ AC,  прямые AO и l не параллельны. Но и O и A₁ являются их общими точками; значит, A₁ совпадает с O. Следовательно, вписанный угол PAQ равен половине центрального угла PA₁Q.

Источники и прецеденты использования