Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
Пусть $n$ – натуральное число. Назовём последовательность $a_1, a_2, ..., a_n$ интересной, если для каждого $i$ = 1, 2, ..., $n$ верно одно из равенств $a_i = i$ или $a_i = i$ + 1. Назовём интересную последовательность чётной, если сумма её членов чётна, и нечётной – иначе. Для каждой нечётной интересной последовательности нашли произведение её чисел и записали его на первый листок. Для каждой чётной – сделали то же самое и записали на второй листок. На каком листке сумма чисел больше и на сколько? (Дайте ответ в зависимости от $n$.)
Решение
|
|
 |
Условие
Выпуклые многогранники A и B не имеют общих точек. Многогранник A имеет ровно 2012 плоскостей симметрии. Каково наибольшее возможное количество плоскостей симметрии у фигуры, состоящей из A и B, если B имеет
а) 2012,
б) 2013 плоскостей симметрии?
в) Каков будет ответ в пункте б), если плоскости симметрии заменить на оси симметрии?
Решение
а) Оценка. Симметрия либо меняет многогранники A и B местами, либо оставляет каждый из них на месте. В первом случае она меняет местами их центры масс, поэтому плоскость симметрии перпендикулярна отрезку между центрами масс и проходит через его середину. Во втором случае плоскость симметрии фигуры является плоскостью симметрии каждого из многогранников A и B. Отсюда оценка 1 + 2012 = 2013.
Пример. Пусть A – правильная 2012-угольная пирамида. На её оси симметрии (очевидно, единственной) выберем точку вне A и проведем через неё плоскость P перпендикулярно оси. Пусть B получается из A отражением относительно P. Все условия задачи выполнены, при этом P и 2012 плоскостей симметрии пирамиды A являются плоскостями симметрии полученной фигуры.
б) Оценка. Поскольку многогранники A и B имеют разное количество плоскостей симметрии, они не равны и не могут перейти друг в друга при симметрии всей фигуры. Следовательно, эта симметрия оставляет каждый из них на месте и, в частности, является симметрией многогранника A, но он по условию имеет только 2012 плоскостей симметрии.
Пример. Пусть A, как и в п. а), – правильная 2012-угольная пирамида. Выберем на её оси точку вне A, проведем через неё плоскость перпендикулярно оси и отразим основание пирамиды относительно этой плоскости. Над этим основанием построим прямую призму, не имеющую общих точек с A, это и будет B. Ясно, что B имеет 2013 плоскостей симметрии: одна из них параллельна плоскостям оснований призмы и расположена посредине между ними, а остальные 2012 проходят через ось призмы и две противоположные вершины основания. Они являются плоскостями симметрии также для A и для всей фигуры.
в) Оценка. Поскольку многогранники A и B имеют разное количество осей симметрии, они не равны и не могут перейти друг в друга при симметрии всей фигуры. Значит, эта симметрия оставляет каждый из них на месте. Поэтому она оставляет на месте центр масс каждого из многогранников. Эти центры не совпадают, поскольку многогранники выпуклые (это существенно!). Таким образом, у соединяющей их прямой есть две неподвижные точки. Значит, она и есть ось симметрии.
Пример. Пусть A – прямая призма, основания которой – правильные 2011-угольники. Плоскости оснований считаем горизонтальными. Тогда у призмы одна вертикальная ось симметрии, и через середину её отрезка между основаниями проходят 2011 горизонтальных осей симметрии. Далее, пусть B – прямая призма, её основания горизонтальны и являются правильными 2012-угольниками, а вертикальная ось та же, что у A, причём A и B не имеют общих точек. Тогда A имеет 2012 осей симметрии, B – 2013, а составленная из них фигура имеет вертикальную ось симметрии.
Ответ
а) 2013, б) 2012, в) 1.
