Версия для печати
Убрать все задачи

---

В прямоугольной таблице m строк и n столбцов  (m < n).  В некоторых клетках таблицы стоят звёздочки, так что в каждом столбце стоит хотя бы одна звёздочка. Докажите, что существует хотя бы одна такая звёздочка, что в одной строке с нею находится больше звёздочек, чем с нею в одном столбце.

   Решение

---

Контуры выпуклых многоугольников F и G не имеют общих точек, причём G расположен внутри F. Хорду многоугольника F – отрезок, соединяющий две точки контура F, назовём опорной для G, если она пересекается с G только по точкам контура: содержит либо только вершину, либо сторону G.
  а) Докажите, что найдётся опорная хорда, середина которой принадлежит контуру G.
  б) Докажите, что найдутся две такие хорды.

   Решение

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Периметр треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма длин любых двух медиан произвольного треугольника
  а) не больше ¾ P, где P – периметр этого треугольника;
  б) не меньше ¾ p, где p – полупериметр этого треугольника.

Решение

  Пусть a и b – половины сторон (см. рис.). Тогда c – средняя линия и равна половине третьей стороны. Напомним, что медианы делятся точкой пересечения в отношении  2 : 1.  Запишем три неравенства треугольника и сложим их.

  а)  3x < a + c,  3y < b + c,  c < x + y.  Отсюда  2(x + y) < a + b + c.  Осталось умножить на ³/₂.
  б)  a < 2x + y,  b < x + 2y,  c < x + y.  Отсюда  a + b + c < 4(x + y).  Осталось умножить на ¾.

Замечания

Баллы: 3 + 5

Источники и прецеденты использования