Существуют ли такие натуральные числа a, b и c, что у каждого из уравнений  ax² + bx + c = 0,  ax + bx – c = 0,  ax² – bx + c = 0,  ax² – bx – c = 0  оба корня – целые?

   Решение

Тема:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Точки D и E делят стороны AC и AB правильного треугольника ABC в отношениях  AD : DC = BE : EA = 1 : 2. Прямые BD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что  AOC = 90^o.

Решение

Пусть точка F делит отрезок BC в отношении CF : FB = 1 : 2; P и Q — точки пересечения отрезка AF с BD и CE соответственно. Ясно, что треугольник OPQ правильный. Используя результат задачи 1.3, легко проверить, что AP : PF = 3 : 4 и AQ : QF = 6 : 1. Следовательно,  AP : PQ : QF = 3 : 3 : 1, а значит, AP = PQ = OP. Поэтому  AOP = (180^o - APO)/2 = 30^o и  AOC = AOP + POQ = 90^o.

Источники и прецеденты использования