а) На окружности фиксированы точки A и B, а точки A₁ и B₁ движутся по той же окружности так, что величина дуги A₁B₁ остается постоянной; M — точка пересечения прямых AA₁ и BB₁. Найдите ГМТ M.
б) В окружность вписаны треугольники ABC и A₁B₁C₁, причем треугольник ABC неподвижен, а треугольник A₁B₁C₁ вращается. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке не более чем при одном положении треугольника A₁B₁C₁.

   Решение

Темы:    [ Признаки перпендикулярности ] [ Параллельность прямых и плоскостей ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что две различные плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

Решение

Пусть различные плоскости α и β перпендикулярны прямой h . Поскольку через точку проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой, плоскости α и β пересекают прямую h в различных точках A и B . Предположим, что эти плоскости имеют общую точку M . Проведём плоскость γ через прямую h и точку M . Поскольку прямая h перпендикулярна плоскостям α и β , проведённая плоскость пересекает плоскости α и β по прямым MA и MB , перпендикулярным прямой h . Таким образом, в плоскости γ через точку M проведены две различные прямые, перпендикулярные одной и той же прямой h . Что невозможно. Следовательно, плоскости α и β не имеют общих точек, т.е. параллельны.

Источники и прецеденты использования