Окружность $\omega_{1}$ проходит через центр $O$ окружности $\omega_{2}$ и пересекает ее в точках $A$ и $B$. Окружность $\omega_{3}$ с центром в точке $A$ и радиусом $AB$ пересекает повторно окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ в точках $C$ и $D$ (отличных от $B$). Докажите, что точки $C$, $O$, $D$ лежат на одной прямой.

   Решение

Тема:    [ Окружность Ферма-Аполлония ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Прямая l пересекает две окружности в четырех точках. Докажите, что четырехугольник, образованный касательными в этих точках, описанный, причем центр его описанной окружности лежит на прямой, соединяющей центры данных окружностей.

Решение

Пусть прямая l высекает на данных окружностях дуги A₁B₁ и A₂B₂ величиной  2 и  2; O₁ и O₂ — центры окружностей, R₁ и R₂ — их радиусы. Пусть K — точка пересечения касательных в точках A₁ и A₂. По теореме синусов  KA₁ : KA₂ = sin : sin, т. е.  KA₁sin = KA₂sin. А так как  KO₁² = KA₁² + R₁² и  KO₂² = KA₂² + R₂², то  (sin²)KO₁² - (sin²)KO₂² = (R₁sin)² - (R₂sin)² = q. Аналогично доказывается, что и остальные точки пересечения касательных принадлежат геометрическому месту таких точек X, что  (sin²)XO₁² - (sin²)XO₂² = q. Это ГМТ — окружность, центр которой лежит на прямой O₁O₂ (см. замечание к задаче 7.47).

Источники и прецеденты использования