Задача 66770

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Окружность $\omega_{1}$ проходит через центр $O$ окружности $\omega_{2}$ и пересекает ее в точках $A$ и $B$. Окружность $\omega_{3}$ с центром в точке $A$ и радиусом $AB$ пересекает повторно окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ в точках $C$ и $D$ (отличных от $B$). Докажите, что точки $C$, $O$, $D$ лежат на одной прямой.

Решение

Так как дуги $AC$ и $AB$ окружности $\omega_1$ равны, $\angle AOC=180^{\circ}-\angle AOB$. С другой стороны, очевидно, что $\angle AOD=\angle AOB$, откуда и получаем искомое утверждение.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2019
Заочный тур
задача
Номер	2 [8 кл]