У Джона была полная корзина тремпончиков. Сначала он встретил Анну и дал ей половину своих тремпончиков и еще полтремпончика. Потом он встретил Банну и отдал ей половину оставшихся тремпончиков и еще полтремпончика. После того, как он встретил Ванну и снова отдал ей половину тремпончиков и еще полтремпончика, корзина опустела. Сколько тремпончиков было у Джона вначале? (Что такое тремпончики выяснить не удалось, так как к концу задачи их не осталось.)

   Решение

Темы:    [ Взвешивания ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

У царя Гиерона есть 11 металлических слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2, ..., 11 кг. Ещё у него есть мешок, который порвётся, если в него положить больше 11 кг. Архимед узнал веса всех слитков и хочет доказать Гиерону, что первый слиток имеет
вес 1 кг. За один шаг он может загрузить несколько слитков в мешок и продемонстрировать Гиерону, что мешок не порвался (рвать мешок нельзя!). За какое наименьшее число загрузок мешка Архимед может добиться требуемого?

Решение

  Пусть Архимед сначала положит в мешок слитки с весами 1, 2, 3 и 5 кг, а потом – слитки с весами 1, 4 и 6 кг. В обоих случаях мешок не порвётся.
  Докажем, что это могло произойти только в том случае, если дважды был использован слиток веса 1 кг. Действительно, если бы Архимед в эти два раза вместо слитков с весами 1, ..., 6 кг использовал соответственно слитки с весами w₁, ..., w₆ кг, то эти веса удовлетворяли бы системе неравенств
 w₁ + w₂ + w₃ + w₅ ≤ 11,  w₁ + w₄ + w₆ ≤ 11.  Складывая, получаем  w₁ + (w₁ + w₂ + ... + w₆) ≤ 22.  В скобках стоит сумма шести различных натуральных чисел, она не меньше  1 + 2 + ... + 6 = 21.  Отсюда следует, что  w₁ ≤ 22 – 21 = 1.  Значит,  w₁ = 1,  то есть слиток веса 1 кг однозначно определён.
  Осталось показать, что одной загрузки недостаточно. Если Архимед загрузит один слиток, то мешок не порвётся в любом случае, то есть никакой слиток идентифицировать не удастся. Пусть Архимед загрузит больше одного слитка, и мешок не порвётся. Если слиток в 1 кг не загружен в мешок, то при замене им любого слитка из мешка результат не изменится; значит, в этом случае Гиерон даже не сможет понять, находится ли этот слиток в мешке.   Если же искомый слиток в мешке, то Гиерон не сможет понять, какой из (хотя бы двух) загруженных слитков – требуемый.

Ответ

За две загрузки.

Источники и прецеденты использования