Даны два набора векторов a₁,...,a_n и  b₁,...,b_m, причем сумма длин проекций векторов первого набора на любую прямую не больше суммы длин проекций векторов второго набора на ту же прямую. Докажите, что сумма длин векторов первого набора не больше суммы длин векторов второго набора.

   Решение

Темы:    [ Теорема о группировке масс ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA. Докажите, что точка пересечения отрезков KM и LN является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Решение

Поместим в вершины четырехугольника ABCD единичные массы. Пусть O — центр масс этой системы точек. Достаточно доказать, что точка O является серединой отрезков KM и LN и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей. Ясно, что K — центр масс точек A и B, M — центр масс точек C и D. Поэтому точка O является центром масс точек K и M с массами 2, т. е. O — середина отрезка KM. Аналогично O — середина отрезка LN. Рассматривая центры масс пар точек (A, C) и (B, D) (т. е. середины диагоналей), получаем, что точка O является серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Источники и прецеденты использования