Версия для печати
Убрать все задачи

---

С числом 123456789101112...9989991000 производится следующая операция: зачёркиваются две соседние цифры a и b (a стоит перед b) и на их место вставляется число a + 2b (можно в качестве a взять нуль, ``стоящий'' перед числом, а в качестве b — первую цифру числа). С полученным числом производится такая же операция и т.д. (Например, из числа 118 307 можно на первом шаге получить числа 218 307, 38 307, 117 307, 111 407, 11 837, 118 314.) Доказать, что таким способом можно получить число 1.

   Решение

Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырехугольника $ABCD$ касаются окружности с центром $I$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. На прямой $AI$ выбрана произвольная точка $P$. Прямая $PK$ пересекает прямую $BI$ в точке $Q$. Прямая $QL$ пересекает прямую $CI$ в точке $R$. Прямая $RM$ пересекает прямую $DI$ в точке $S$. Докажите, что точки $P$, $N$ и $S$ лежат на одной прямой.

Решение

По теореме Менелая $\frac{BQ}{QI} \cdot \frac{IP}{PA} \cdot \frac{AK}{KB}=1$. Аналогично $\frac{CR}{RI} \cdot \frac{IQ}{QB} \cdot \frac{BL}{LC}=1$ и $\frac{DS}{SI} \cdot \frac{IR}{RC} \cdot \frac{CM}{MD}=1$. Перемножая эти равенства с учетом равенств $AK=AN$, $BK=BL$, $CL=CM$, $DM=DN$, получаем $\frac{IS}{SD} \cdot \frac{DN}{NA} \cdot \frac{AP}{PI}=1$, что равносильно утверждению задачи.

Замечания

Утверждение останется верным при замене точки $I$ произвольной точкой плоскости.

Источники и прецеденты использования