Целые неотрицательные числа x и y удовлетворяют равенству   x² – mxy + y² = 1   (1)   тогда и только тогда, когда x и y – соседние члены последовательности  (2):  a₀ = 0,  a₁ = 1,  a₂ = m,  a₃ = m² – 1,  a₄ = m³ – 2m,  a₅ = m⁴ – 3m² + 1,  ...,  в которой  a_k+1 = ma_k – a_k–1  для любого  k 0.  Докажите это.

   Решение

Темы:    [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Диаметр, основные свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

AB — диаметр окружности, CD — хорда этой окружности. Перпендикуляры к хорде, проведённые через её концы C и D, пересекают прямую AB в точках K и M соответственно. Докажите, что AK = BM.

Подсказка

Проекция середины отрезка совпадает с серединой проекции этого отрезка.

Решение

Пусть P — проекция центра O окружности на хорду CD. Тогда P — середина CD. Поскольку C и D — проекции концов отрезка KM на прямую CD, то O — середина отрезка KM. Следовательно, AK = KM.

Источники и прецеденты использования