Имеется много карточек, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до n. Известно, что сумма чисел на всех карточках равна n!·k, где k – целое число. Докажите, что карточки можно разложить на k групп так, чтобы в каждой группе сумма чисел, записанных на карточках, равнялась n!.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямая Симсона ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC,  O – центр его описанной окружности. Проекции точек D и X на стороны треугольника лежат на прямых l и L, причём
l || XO.  Докажите, что прямая L образует равные углы с прямыми AB и CD.

Решение

Из условия следует, что точки D и X лежат на описанной окружности треугольника ABC, а прямые l и L являются их прямыми Симсона. Проведём хорды CC', DD' и XX', параллельные AB. Согласно задаче 56945 прямая l, а значит, и радиус OX перпендикулярны CD', а  L ⊥ CX'.  Поэтому утверждение задачи равносильно равенству дуг X'D и XC. Но  ⌣X'D = ⌣XD' = ⌣XС.

Источники и прецеденты использования