Задача 56945

Тема:    [ Прямая Симсона ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

Хорда PQ описанной окружности треугольника ABC перпендикулярна стороне BC. Докажите, что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC параллельна прямой AQ.

Решение

Пусть прямые AC и PQ пересекаются в точке M. Проведем в треугольнике MPC высоты PB₁ и CA₁. Тогда A₁B₁ — прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC. Кроме того, согласно задаче 1.52  (MB₁, B₁A₁) = (CP, PM). Ясно также, что  (CP, PM) = (CA, AQ) = (MB₁, AQ). Следовательно,  A₁B₁| AQ.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	9
Название	Прямая Симсона
Тема	Прямая Симсона
задача
Номер	05.095