Версия для печати
Убрать все задачи

---

В некотором царстве, в некотором государстве было выпущено неограниченное количество монет достоинством в n₁, n₂, n₃, ... копеек, где
n₁ < n < ₂ < n₃ < ...  – бесконечная последовательность, состоящая из натуральных чисел. Докажите, что эту последовательность можно оборвать, то есть найдётся такое число N, что любую сумму, которую можно уплатить без сдачи выпущенными монетами, на самом деле можно уплатить только монетами достоинством в n₁, n₂, ..., n_N копеек.

   Решение

---

В треугольнике ABC угол A больше угла B. Докажите, что длина стороны BC больше половины длины стороны AB.

   Решение

---

В пространстве расположены 2n точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Проведены  n² + 1  отрезков с концами в этих точках. Докажите, что проведённые отрезки образуют
  а) хотя бы один треугольник;
  б) не менее n треугольников.

   Решение

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ соответственно. Докажите, что если

то точки A₁, B₁ и C₁ являются основаниями высот треугольника ABC.

Подсказка

Лучи C₁A и B₁A являются биссектрисами внешних углов треугольника A₁B₁C₁.

Решение

На продолжении отрезка A₁C₁ за точку C₁ возьмём точку M. Тогда

т.е. C₁A — биссектриса угла B₁C₁M. Поэтому точка A равноудалена от сторон этого угла.

Если N — точка на продолжении A₁B₁ за точку B₁, то аналогично докажем, что точка A равноудалена от сторон угла NB₁C₁. Следовательно, точка A равноудалена от сторон угла MA₁N, т.е. лежит на биссектрисе этого угла. Поэтому

Следовательно, AA₁ BC.

Источники и прецеденты использования