Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри четырехугольника $ABCD$ взяли точку $P$. Прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что прямая $XP$ является внешней биссектрисой углов $APD$ и $BPC$. Пусть $PY$ и $PZ$ – биссектрисы треугольников $APB$ и $DPC$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой.

   Решение

Темы:    [ Сферы (прочее) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В шаре проведён диаметр AB и две равные хорды AM и AN , каждая расположена под углом α к диаметру. Найдите угол между хордами, если отрезок MN виден из центра шара под углом β .

Решение

Пусть O – центр сферы, K – середина MN , L – середина AM . Тогда OA = OM = ON = R . Из равнобедренных треугольников MON и AOM находим, что

MK = OM sin MOK = R sin ,

AM = 2AL = 2AO cos MAO = 2R cos α.
Из равнобедренного треугольника MAN находим, что
sin MAK = = = .
Следовательно,
MAN = 2 MAK = 2 arcsin ().

Ответ

2 arcsin () .

Источники и прецеденты использования