Информация о задаче

Задача 66594

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Автор: Нилов Ф.

Внутри четырехугольника $ABCD$ взяли точку $P$ . Прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $X$ . Оказалось, что прямая $XP$ является внешней биссектрисой углов $APD$ и $BPC$ . Пусть $PY$ и $PZ$ – биссектрисы треугольников $APB$ и $DPC$ . Докажите, что точки $X$ , $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой.

Решение

Первое решение. Рассмотрим $\bigtriangleup PBC$ и внешнюю биссектрису $XP$ угла $BPC$ , $\bigtriangleup APB$ и биссектрису $PY$ угла $APB$ , $\bigtriangleup PCD$ и биссектрису $PZ$ угла $DPC$ , $\bigtriangleup APD$ и внешнюю биссектрису $XP$ угла $APD$ . Из свойства биссектрисы $\frac{B X}{X C} = \frac{P B}{P C}, \frac{A Y}{Y B} = \frac{P A}{P B}, \frac{P D}{P C} = \frac{D Z}{Z C}, \frac{P A}{P D} = \frac{A X}{X D} .$

Пусть прямая $XY$ пересекает отрезок $AC$ в точке $R$ (см. рисунок). Используя теорему Менелая для треугольника $ABC$ и прямой $XYR$ , получаем: Применяя теорему Менелая для треугольника $ACD$ , получаем, что точки $Z,R,X$ лежат на одной прямой. Остается вспомнить, что точка $Y$ тоже лежит на этой прямой.

Второе решение. Пусть прямая $XP$ пересекает $AB$ и $CD$ в точках $S$ и $T$ соответственно (см. рисунок). По условию $\angle DPT = \angle APS$ , $\angle TPC = \angle SPB$ , $\angle DPZ = \angle ZPC$ , $\angle APY = \angle YPB$ . Запишем равенства двойных отношений: Значит, прямые $XZ$ и $XY$ совпадают, что и требовалось.

Замечания

О двойных отношениях – см. например

А. А. Заславский. Геометрические преобразования. М.: МЦНМО, 2004;

Элементы математики в задачах. Через олимпиады и кружки – к профессии. М.: МЦНМО, 2018.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	84
Год	2021
класс
Класс	10
задача
Номер	4