Дано натуральное число $n > 1$. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна $n$. Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше $n$, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания тогда и только тогда, когда $n$ — простое число.

Напомним, что обыкновенная дробь — это отношение целого числа к натуральному.

   Решение

Про группу из пяти человек известно, что:

   Алеша на 1 год старше Алексеева,
   Боря на 2 года старше Борисова,
   Вася на 3 года старше Васильева,
   Гриша на 4 года старше Григорьева,
   а еще в этой группе есть Дима и Дмитриев.

Кто старше и на сколько: Дима или Дмитриев?

   Решение

Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие 100 квадратных трёхчленов, что каждый из них имеет два корня, а сумма любых двух из них корней не имеет?

Подсказка

Графики квадратных трёхчленов могут совмещаться сдвигами на достаточно большие расстояния вдоль оси Ox.

Решение

Рассмотрим квадратные трёхчлены  f_n(x) = (x – 4n)² – 1  (n = 1, 2, 3, ...).  Очевидно, каждый из них имеет два действительных корня.  4n – 4m ≥ 4  при  n > m,  значит, при любом x либо  |x – 4m|,  либо  |x – 4n|  не меньше 2. Поэтому  f_m(x) + f_n(x) = (x – 4m)² + (x – 4n)² – 2 ≥ 2 > 0,  то есть квадратный трёхчлен
f_m(x) + f_n(x)  принимает только положительные значения.

Ответ

Существуют.

Источники и прецеденты использования