Внутри квадрата со стороной 100 расположена ломаная L, обладающая тем свойством, что любая точка квадрата удалена от L не больше чем на 0, 5. Докажите, что на L есть две точки, расстояние между которыми не больше 1, а расстояние по L между ними не меньше 198.

   Решение

Дан треугольник ABC. Две прямые, симметричные прямой AC относительно прямых AB и BC соответственно, пересекаются в точке K.
Докажите, что прямая BK проходит через центр O описанной около треугольника ABC окружности.

   Решение

Темы:    [ Системы линейных уравнений ] [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Системы алгебраических неравенств ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

На трёх красных и трёх синих карточках написаны шесть положительных чисел, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то трёх чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же трёх чисел. Всегда ли можно гарантированно определить эти три числа?

Решение

  Все искомые числа различны, иначе на карточках некоторые числа были бы равны. Так как их попарные произведения положительны, то все числа одного знака, а так как их попарные суммы положительны, то этот знак – плюс.
  Обозначим искомые числа  x < y < z.

  Первый способ. Для карточек каждого цвета рассмотрим отношение наибольшего числа на них к наименьшему. В одном случае – это  ^y+z/_x+y, в другом – ^x/_y. Так как первое отношение меньше второго, то понятно, на каких карточках написаны суммы, а на каких – произведения.
  Знание попарных сумм трёх чисел определяет эти числа, например,  x = ½ ((x + y) + (x + z) – (y + z)).

  Второй способ. Заметим, что  x + y < x + z < y + z  и  xy < xz < yz.  Пусть  a < b < c  – числа на карточках одного цвета,  A < B < C  – другого. Тогда     Аналогично вычисляются y и z.

Ответ

Всегда.

Замечания

1. 8 баллов.

2. Ср. с задачей 65880.

Источники и прецеденты использования