Информация о задаче

Задача 58178

Тема:

[

Инварианты

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что выпуклый многоугольник нельзя разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников.

Решение

Предположим, что выпуклый многоугольник M разрезан на невыпуклые четырехугольники M₁,..., M_n. Каждому многоугольнику N поставим в соответствие число f (N), равное разности между суммой его внутренних углов, меньших 180^o, и суммой углов, дополняющих до 360^o его углы, большие 180^o. Сравним числа A = f (M) и B = f (M₁) +...+ f (M_n). Рассмотрим для этого все точки, являющиеся вершинами четырехугольников M₁,..., M_n. Их можно разбить на четыре типа.
1. Вершины многоугольника M. Эти точки дают одинаковые вклады в A и B.
2. Точки на сторонах многоугольника M или M_i. Вклад каждой такой точки в B на 180^o больше, чем в A.
3. Внутренние точки многоугольника, в которых сходятся углы четырехугольника, меньшие 180^o. Вклад каждой такой точки в B на 360^o больше, чем в A.
4. Внутренние точки многоугольника M, в которых сходятся углы четырехугольников, причем один из них больше 180^o. Такие точки дают нулевые вклады в A и B.
В итоге получаем A $\le$ B. С другой стороны, A > 0, а B = 0. Неравенство A > 0 очевидно, а для доказательства равенства B = 0 достаточно проверить, что если N — невыпуклый четырехугольник, то f (N) = 0. Пусть углы N равны $\alpha$ $\ge$ $\beta$ $\ge$ $\gamma$ $\ge$ $\delta$ . У любого невыпуклого четырехугольника ровно один угол больше 180^o, поэтому f (N) = $\beta$ + $\gamma$ + $\delta$ - (360^o - $\alpha$ ) = $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ + $\delta$ - 360^o = 0^o.
Получено противоречие, поэтому выпуклый многоугольник нельзя разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	23
Название	Делимость, инварианты, раскраски
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Инварианты
Тема	Инварианты
задача
Номер	23.018