Задача 98372

Темы:    [ Произвольные многоугольники ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Движения (прочее) ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Маркелов С.В.

Верны ли утверждения:
  а) Если многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
  б) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
  в) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга движением, сохраняющим ориентацию (то есть поворотом или параллельным переносом), то его можно разбить отрезком на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга таким же движением.

Решение

  а) Вот пример:

  Докажем, что шестиугольник на рисунке нельзя разбить отрезком на два равных многоугольника. Действительно, такой разрез должен пройти через вершину B (иначе в одном многоугольнике будет угол, больший развёрнутого, а в другом – нет). Но единственный разрез, проведённый через точку B, который делит наш шестиугольник на два многоугольника с одинаковым числом сторон, – это разрез по отрезку AB (в остальных случаях одна из частей – треугольник или четырёхугольник, а вторая – пяти- или шестиугольник). А отрезок AB разбивает шестиугольник на прямоугольник и параллелограмм, прямоугольником не являющийся.
  См. также пример в п. б).

  б) Приведём контрпример. На рисунке слева изображён пятиугольник, полученный из прямоугольника 2×3 отрезанием двух равных прямоугольных треугольников с катетами 1 и 2. Он разрезан ломаной на два равных шестиугольника. Но разбить его на два равных многоугольника отрезком нельзя.

  Действительно, такой разрез должен пройти через какую-то вершину и разбить на две части противоположную ей сторону (иначе получатся многоугольники с разным числом сторон). Кроме того, наборы длин сторон частей должны быть одинаковы. У исходного пятиугольника есть пара длинных и пара коротких сторон, а также одна средняя. Разрез не может разбить ни длинную, ни короткую стороны – тогда исчезнет пара. Единственная возможность – разбить пополам среднюю сторону. Но тогда одна из частей – параллелограмм, а другая – нет (см. рис. справа).

  в) Пусть многоугольник M разбивается некоторой ломаной A₁...A_n на части P и Q и движение Ф (поворот или перенос) переводит P в Q. Рассмотрим вершину A₂. Она является вершиной двух углов, один из которых – внутренний угол многоугольника P, а второй – внутренний угол многоугольника Q. Поскольку точка A₂ лежит внутри M, один из этих углов (пусть угол многоугольника P) больше 180°. Движение Ф совмещает этот угол с одним из углов многоугольника Q, вершина которого также должна лежать внутри M (у выпуклого многоугольника M все углы меньше 180°). Поэтому она совпадает с одной из вершин нашей ломаной:  Ф(A₂) = A_k.
  Заметим, что при обходе границ многоугольников P и Q против часовой стрелки вершины ломаной проходятся в противоположных порядках (если вдоль границы P мы идём от A₁ к A₂, ..., A_n, то вдоль границы Q – от A_n к A₁). С другой стороны, направление обхода границы P от A₁ к A₂, ..., A_n совпадает с направлением обхода границы Q от Ф(A₁) к Ф(A₂), ..., Ф(A_n). Следовательно, Ф переводит A₃ в A_k–1, A₄ в A_k–2 и т.д. Поэтому найдётся либо такой номер i, что  Ф(A_i) = A_i  (если k чётно), либо такой номер i, что  Ф(A_i) = A_i+1  и  Ф(A_i+1) = A_i  (если k нечётно). Первый случай невозможен: прилегающие к вершине A_i углы многоугольников P и Q не равны.
  Во втором случае движение Ф "переворачивает" отрезок A_iA_i+1, следовательно, Ф – центральная симметрия (поворот на 180°) относительно середины этого отрезка. Поэтому многоугольник M центрально симметричен. Но тогда любая прямая, проведённая через его центр симметрии, делит M на два равных многоугольника.

Ответ

Утверждения а) и б) неверны, утверждение в) верно.

Замечания

Баллы: 1 + 2 + 4

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1997/1998
Номер	19
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	2
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1998
выпуск
Номер	2
Задача
Номер	М1631