Даны (2n - 1)-угольник  A₁...A_{2n - 1} и точка O. Прямые A_kO и  A_{n + k - 1}A_{n + k} пересекаются в точке B_k. Докажите, что произведение отношений  A_{n + k - 1}B_k/A_{n + k}B_k(k = 1,..., n) равно 1.

   Решение

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырёхугольника. Докажите, что диагонали равны.

Подсказка

Соедините указанные середины сторон с серединой третьей стороны четырёхугольника.

Решение

  Пусть M, N и K – середины сторон AB, CD и AD четырёхугольника ABCD, причём прямая MN образует равные углы с диагоналями.
  Поскольку MK и KN – средние линии треугольников ABD и ACD, то  ∠KMN = ∠KNM.  Поэтому треугольник MKN – равнобедренный,  KM = KN.  Следовательно,  AC = BD.

Источники и прецеденты использования