Информация о задаче

Задача 57444

Тема:

[

Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что 16Rr - 5r² $\leq$ p² $\leq$ 4R² + 4Rr + 3r².

Решение

Пусть a, b и c — длины сторон треугольника, F = (a - b)(b - c)(c - a) = A - B, где A = ab² + bc² + ca² и B = a²b + b²c + c²a. Докажем, что требуемые неравенства можно получить, преобразовав очевидное неравенство F² $\geq$ 0. Пусть $\sigma_{1}^{}$ = a + b + c = 2p, $\sigma_{2}^{}$ = ab + bc + ca = r² + p² + 4rR и $\sigma_{3}^{}$ = abc = 4prR (см. задачу 12.30). Можно проверить, что F² = $\sigma_{1}^{2}$ $\sigma_{2}^{2}$ - 4 $\sigma_{2}^{3}$ - 4 $\sigma_{1}^{3}$ $\sigma_{3}^{}$ + 18 $\sigma_{1}^{}$ $\sigma_{2}^{}$ $\sigma_{3}^{}$ - 27 $\sigma_{3}^{2}$ . В самом деле, ( $\sigma_{1}^{}$ $\sigma_{2}^{}$ )² - F² = (A + B + 3abc)² - (A - B)² = 4AB + 6(A + B) $\sigma_{3}^{}$ + 9 $\sigma_{3}^{2}$ = 4(a³b³ + ...) + 4(a⁴bc + ...) + 6(A + B) $\sigma_{3}^{}$ + 21 $\sigma_{3}^{2}$ . Ясно также, что 4 $\sigma_{2}^{3}$ = 4(a³b³ + ...) + 12(A + B) $\sigma_{3}^{}$ + 24 $\sigma_{3}^{2}$ , 4 $\sigma_{1}^{3}$ $\sigma_{3}^{}$ = 4(a⁴bc + ...) + 12(A + B) $\sigma_{3}^{}$ + 24 $\sigma_{3}^{2}$ и 18 $\sigma_{1}^{}$ $\sigma_{2}^{}$ $\sigma_{3}^{}$ = 18(A + B) $\sigma_{3}^{}$ + 54 $\sigma_{3}^{2}$ .
Выразив $\sigma_{1}^{}$ , $\sigma_{2}^{}$ и $\sigma_{3}^{}$ через p, r и R, получим

F² = - 4r²[(p² - 2R² - 10Rr + r²)² - 4R(R - 2r)³] $\displaystyle \geq$ 0.

Следовательно, получаем

$\begin{multline*} p^2\geq 2R^2+10Rr-r^2-2(R-2r)\sqrt{R(R-2r)}= \\ = [(R-2r)-\sqrt{R(R-2r)}]^2 + 16Rr-5r^2\geq 16Rr-5r^2 \end{multline*}$

$\begin{multline*} p^2\leq2R^2+10Rr+r^2+{2(R-2r)\sqrt{R(R-2r)}}=\\ =4R^2+4Rr+3r^2- [(R-2r)-\sqrt{R(R-2r)}]^2\leq4R^2+4Rr+3r^2. \end{multline*}$

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	5
Название	Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей
Тема	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями
задача
Номер	10.034