Задача 79592
|
|
 |
Условие
Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике $A_1 A_2 \ldots A_{12}$ диагонали $A_1A_5$, $A_2A_6$, $A_3A_8$ и $A_4A_{11}$ пересекаются в одной точке.
Подсказка
Среди вершин 12-угольника выберите три так, чтобы в соответствующем треугольнике три из данных диагоналей были биссектрисами.Решение
Рассмотрим треугольник $A_3A_5A_{11}$. Прямые $A_3A_8$, $A_5A_1$ и $A_{11}A_4$ являются биссектрисами его углов, так как дуги $A_5A_8$ и $A_8A_{11}$ описанной окружности (соответственно, $A_{11}A_1$ и $A_1A_3$, $A_3A_4$ и $A_4A_5$) равны, а значит, равны и вписанные в них углы. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, поэтому диагональ $A_1A_5$ проходит через точку $O$ пересечения диагоналей $A_3A_8$ и $A_4A_{11}$. Рассматривая треугольник $A_2A_4A_8$, аналогично получаем, что прямые $A_2A_6$, $A_4A_{11}$ и $A_8A_3$ являются биссектрисами его углов и также проходят через одну точку, поэтому диагональ $A_2A_6$ также проходит через точку $O$.Замечания
В "Задачнике «Кванта»" задача была в следующей формулировке:
Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике существуют четыре диагонали, не проходящие через центр многоугольника и пересекающиеся в одной точке.
