В равнобедренном треугольнике ABC  (AC = BC)  угол при вершине C равен 20°. Биссектрисы углов A и B пересекают боковые стороны треугольника соответственно в точках A₁ и B₁. Докажите, что треугольник A₁OB₁ (где O – центр описанной окружности треугольника ABC) является равносторонним.

   Решение

Можно ли рёбра n-угольной призмы раскрасить в три цвета так, чтобы на каждой грани были все три цвета и в каждой вершине сходились рёбра разных цветов, если   а)  n = 1995;   б)  n = 1996.

   Решение

Тема:    [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Разбить число 1957 на 12 целых положительных слагаемых a₁, a₂, ..., a₁₂ так, чтобы произведение a₁!a₂!...a₁₂! было минимально.

Решение

  Пусть b и a – наибольшее и наименьшее слагаемые в рассматриваемой сумме. Если  b > a + 1,  то  a!b! > a!(a + 1)(b – 1)! = (a + 1)!(b – 1)!.  Поэтому при замене a и b на  a + 1  и  b – 1  сумма уменьшится. Следовательно, в наименьшей сумме разность между наибольшим и наименьшим слагаемых будет не больше 1.
  Поскольку  1957 = 12·163 + 1,  то одно слагаемое равно 164, а остальные – 163.

Ответ

164, 163, 163, ..., 163.

Источники и прецеденты использования