В ромбе ABCD  ∠А = 120°.  На сторонах BC и CD взяты точки M и N так, что  ∠NAM = 30°.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника NAM лежит на диагонали ромба.

   Решение

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Натуральные числа p и q взаимно просты. Отрезок  [0, 1]  разбит на  p + q  одинаковых отрезков.
Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних лежит ровно одно из  p + q – 2  чисел  ¹/_p, ²/_p, ..., ^p–1/_p,  ¹/_q, ²/_q, ..., ^q–1/_q.

Решение

  В силу взаимной простоты p и q указанные  p + q – 2  числа попарно различны (кроме того, они отличаются и от чисел вида ^k/_p+q). Поэтому они делят отрезок  [0, 1]  на  p + q – 1  отрезок. Достаточно доказать что внутри каждого из этих отрезков есть точка вида ^k/_p+q.
  На отрезке вида  [^m/_p, ^m+1/_p]  такая точка, очевидно, есть, поскольку его длина больше ¹/_p+q. Расмотрим отрезок вида  [^m/_p, ⁿ/_q].  Он содержит точку  ^m+n/_p+q,  поскольку неравенства  ^m/_p < ^m+n/_p+q < ⁿ/_q  эквивалентны неравенству  mq < np,  то есть неравенству  ^m/_p < ⁿ/_q.  Аналогично рассматриваются отрезки вида  [^a/_q, ^b/_p].

Источники и прецеденты использования