|
|
 |
Условие
В ромбе ABCD ∠А = 120°. На сторонах BC и CD взяты точки M и N так, что ∠NAM = 30°.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника NAM лежит на диагонали ромба.
Решение 1
Пусть O – центр указанной описанной окружности. При повороте на 60° вокруг точки M луч CD переходит в часть луча CA (M лежит на биссектрисе внешнего угла C треугольника ACD и, значит, равноудалена от прямых CD и CA), а лежащая на нем точка N – в точку O (треугольник MON – правильный). Следовательно, O лежит на луче CA. Она не может лежать за точкой A, поскольку оттуда отрезок MN виден под углом, меньшим 30° (и, тем более, 60°). Значит, O лежит на диагонали AC.
Решение 2
При DM = DN картинка симметрична относительно AC, поэтому O лежит на AC.
Пусть DM < DN. Рассмотрим точки M' и N', симметричные M и N относительно AC. MM'NN' – равнобедренная трапеция, значит, она вписана в окружность с центром на диагонали AC. Поскольку ∠NAM = 30° = ∠NN'M, эта окружность проходит через точку A, то есть является описанной окружностью треугольника NAM.
Замечания
5 баллов
