Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
Лиса и два медвежонка делят 100 конфет. Лиса раскладывает конфеты на три кучки; кому какая достанется - определяет жребий. Лиса знает, что если медвежатам достанется разное количество конфет, то они попросят её уравнять их кучки, и тогда она заберёт излишек себе. После этого все едят доставшиеся им конфеты.
а) Придумайте, как Лисе разложить конфеты по кучкам так, чтобы съесть ровно 80 конфет (ни больше, ни меньше).
б) Может ли Лиса сделать так, чтобы в итоге съесть ровно 65 конфет?
Решение
|
|
 |
Условие
В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин – гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер – только по его сторонам. Известно, что отношение максимальной скорости полицейского и максимальной скорости гангстера равно: а) 0,5; б) 0,49; в) 0,34; г) ⅓. Сможет ли полицейский может бежать так, что в какой-то момент окажется на одной стороне с гангстером?
Решение
Пусть u и v – максимальные скорости полицейского и гангстера. Введём систему координат с началом в центре исходного квадрата ABCD и осями, параллельными его сторонам. Положим сторону квадрата ABCD равной 6 м и будем считать, что максимальная скорость гангстера v = 3 (м/мин) (нам ведь важно лишь отношение u : v). Точки, в которых находятся полицейский и гангстер, обозначим через П(хП, yП) и Г(xГ, yГ), соответственно. Обозначим через Г' точку с координатами (⅓ xГ, ⅓ yГ); если точка Г движется по контуру квадрата ABCD со скоростью 3, то Г' движется по контуру квадрата со стороной 2 со скоростью 1.
а-в) Докажем, что полицейский достигнет своей цели (то есть окажется с гангстером на одной стороне квадрата; будем говорить, что в этом случае он ловит гангстера). Полицейский будет ловить гангстера в несколько этапов.
Первый этап. Полицейский догоняет Г'. Это всегда можно сделать, так как u > 1. Первый этап заканчивается, когда точки П и Г' совпадают.Второй этап. Можно считать без ограничения общности, что к концу первого этапа точка Г окажется на стороне AВ; тогда 3xП = xГ. На протяжении всего второго этапа полицейский должен двигаться таким образом, чтобы всё время выполнялось равенство 3xП = xГ; для этого необходимо и достаточно, чтобы то же соотношение все время имело место для горизонтальных составляющих скоростей полицейского и гангстера. При этом по вертикали полицейский может двигаться к стороне AB со скоростью
1) Г остаётся все время на AB. Тогда П через некоторое время достигнет AB, и гангстер будет пойман. 2) В какой-то момент Г уйдёт со стороны AB. Как только Г достигнет границы AB (будем считать, точки B) начинается
Третий этап. К началу этого этапа точки Г и B совпадают, а точка П находится от каждой из сторон AB и BC на расстоянии, не большем 2. На третьем этапе полицейский должен с максимальной скоростью приближаться по перпендикуляру к той стороне, на которой находится гангстер (если Г находится в B, то безразлично, к какой именно, – к стороне AB или же к стороне BC). Чтобы добежать из точки B до точки A или до точки С, гангстеру понадобится 2 минуты, а полицейскому, чтобы достигнуть соответствующей стороны (AB или BС), понадобится меньше 2 минут. Следовательно, полицейский поймает гангстера на одной из сторон AB или BC.
г) Покажем, что при u = 1 м/мин гангстер может выбрать такую стратегию, при которой полицейский не сумеет его догнать. Проведём прямые A'B', C'D', параллельные стороне AB, и прямые A"D", B"C", параллельные BC, так, чтобы AA' = BB' = CC' = DD' = AA" = BB" = CC" = DD" = 1 (рис. слева). Пусть в самом начале гангстер Г находится в середине стороны AB, а полицейский П – над прямой A'B'. Проведём между П и A'B' вспомогательную прямую A1B1, параллельную AB (рис. справа).
Пусть при этом xП ≤ 0 (случай xП ≥ 0 симметричен). Тогда Г перебегает в середину отрезка BC. На это ему требуется 2 минуты. За первую минуту (пока ганстер находится на AB) полицейский не успеет добежать до прямой AB и, значит, не сможет поймать Г на стороне AB. Кроме того, за 2 минуты он не успеет добежать до прямой B"C".
Итак, мы пришли к конфигурации, эквивалентной начальной: Г – в середине стороны BC, а П – левее прямой B"C". При этом прошло более 2 минут.
Дальнейшее поведение Г аналогично описанному выше. Очевидно, что при такой стратегии гангстера полицейский не поймает его ни за какое конечное время.
Замечания
1. В условии задачи, приведённом в книге Г. Гальперина и А. Толпыго "Московские математические олимпиады", ошибочно утверждается, что и в г) полицейский может поймать гангстера.
2. В Задачнике "Кванта" предлагается также доказать, что при 3u < v гангстер может "убежать" от полицейского. Это, очевидно, следует из г).
