Целые числа a, x₁, x₂, ..., x₁₃ таковы, что  a = (1 + x₁)(1 + x₂)...(1 + x₁₃) = (1 – x₁)(1 – x₂)...(1 – x₁₃).  Докажите, что  ax₁x₂...x₁₃ = 0.

   Решение

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найти остаток от деления на 7 числа  10¹⁰ + 10¹⁰² + 10¹⁰³ + ... + 10¹⁰¹⁰.

Решение

10⁶ ≡ 1 (mod 7),  поскольку  10³ + 1  делится на 7, и  10^k ≡ 4 (mod 6)  при  k ≥ 1,  поскольку число 9...96 чётно и делится на 3. Значит,
10^10k ≡ 10⁴ (mod 7)  при  k ≥ 1.  Поэтому требуемый остаток равен остатку от деления числа   10·10⁴ ≡ 3⁵ ≡ 2 (mod 7).

Ответ

5.

Источники и прецеденты использования