Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
Каждая точка числовой оси, координата которой – целое число, покрашена либо в красный, либо в синий цвет. Доказать, что найдётся цвет со следующим свойством: для каждого натурального числа k имеется бесконечно много точек этого цвета, координаты которых делятся на k.
Решение
|
|
 |
Условие
Какое максимальное число ладей можно расставить в кубе 8×8×8, чтобы они не били друг друга?
Решение
Очевидно, что в каждом столбике из восьми кубиков-клеток может стоять только одна ладья, поэтому больше 64 ладей поставить нельзя.
Покажем, как поставить 64 ладьи, чтобы они не били друг друга. Введём систему координат с осями, направленными вдоль ребер куба так, чтобы каждая клетка имела координатами тройку (x, y, z) чисел от 0 до 7 и поставим ладьи в клетки, сумма координат которых делится на 8.
Предположим, какие-то две ладьи бьют друг друга. Значит, две их координаты (скажем, x и y) совпадают, а третьи – различны (обозначим их z1 и z2). Суммы x + y + z1 и x + y + z2, а значит, и их разность z1 – z2 кратны 8. Но это невозможно, так как z1 и z2 – различные неотрицательные числа, меньшие 8.
Заметим теперь, что в каждом вертикальном столбике находится по ладье, то есть что мы поставили 64 ладьи. Действительно, каждый такой столбик определяется своей парой координат x и y. Координата z для ладьи в этом столбике однозначно задается условием x + y + z ≡ 0 (mod 8).
Ответ
64 ладьи.
