Точка D лежит на основании BC равнобедренного треугольника ABC, а точки M и K – на его боковых сторонах AB и AC соответственно, причём AMDK – параллелограмм. Прямые MK и BC пересекаются в точке L. Перпендикуляр к BC, восставленный из точки D, пересекает прямые AB и AC в точках X и Y соответственно. Докажите, что окружность с центром L, проходящая через D, касается описанной окружности треугольника AXY.

   Решение

Тема:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Правильный треугольник, одна сторона которого отмечена, отражается симметрично относительно одной из своих сторон. Полученный треугольник в свою очередь отражается и т.д., пока на некотором шаге треугольник не придёт в первоначальное положение. Доказать, что при этом отмеченная сторона также займёт исходное положение.

Решение

Рассмотрим замощение плоскости правильными треугольниками, такое что один из треугольников замощения – данный нам вначале правильный треугольник. Нетрудно раскрасить стороны всех треугольников замощения в три цвета так, чтобы стороны каждого треугольника были раскрашены в разные цвета и раскраска была симметрична относительно любой стороны любого треугольника замощения (при этом объединение одноцветных сторон образует замощение плоскости правильными шестиугольниками). Тогда при отражении любого треугольника замощения относительно любой из его сторон цвета сторон сохраняются. Поэтому цвета сторон сохраняются и после любой последовательности таких отражений. В частности, если наш треугольник вернулся в исходное положение, то отмеченная сторона должна совпасть со стороной своего цвета, то есть занять исходное положение.

Источники и прецеденты использования