ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 78278  (#1)

Темы:   [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
[ Основные свойства центра масс ]
[ Аналитический метод в геометрии ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На сторонах AB, BC, CA правильного треугольника ABC найти такие точки X, Y, Z (соответственно), чтобы площадь треугольника, образованного прямыми CX, BZ, AY, была вчетверо меньше площади треугольника ABC и чтобы было выполнено условие:

$\displaystyle {\frac{AX}{XB}}$ = $\displaystyle {\frac{BY}{YC}}$ = $\displaystyle {\frac{CZ}{ZA}}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78274  (#2)

Тема:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Правильный треугольник, одна сторона которого отмечена, отражается симметрично относительно одной из своих сторон. Полученный треугольник в свою очередь отражается и т.д., пока на некотором шаге треугольник не придёт в первоначальное положение. Доказать, что при этом отмеченная сторона также займёт исходное положение.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78279  (#3)

Тема:   [ Арифметические действия. Числовые тождества ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Доказать, что для любого целого d найдутся такие целые m, n, что

d = $\displaystyle {\frac{n-2m+1}{m^2-n}}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78276  (#4)

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Признаки делимости на 3 и 9 ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Сумму цифр числа a обозначим через S(a). Доказать, что если  S(a) = S(2a),  то число a делится на 9.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78277  (#5)

Тема:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Даны n карточек; на обеих сторонах каждой карточки написано по одному из чисел 1, 2,..., n, причём так, что каждое число встречается на всех n карточках ровно два раза. Доказать, что карточки можно разложить на столе так, что сверху окажутся все числа: 1, 2,..., n.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .