Задача 78278

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Основные свойства центра масс ] [ Аналитический метод в геометрии ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

На сторонах AB, BC, CA правильного треугольника ABC найти такие точки X, Y, Z (соответственно), чтобы площадь треугольника, образованного прямыми CX, BZ, AY, была вчетверо меньше площади треугольника ABC и чтобы было выполнено условие: $$\frac{AX}{XB}=\frac{BY}{YC}=\frac{CZ}{ZA}.$$

Решение

Обозначим через x=AX/XB=BY/YC=CZ/ZA . Можно считать, что 0 < x < 1 и S(ABC)=1 . Пусть A₁B₁C₁ – треугольник, образованный прямыми CX, AY и BZ , причем A₁ – вершина, ближайшая к A , B₁ – к B , C₁ – к C . Расположим в вершинах A, B и С массы x², 1 и x соответственно. Тогда B₁ – центр масс этой системы, откуда S(ABB₁)=x/(1+x+x²). Тогда S(A₁B₁C₁)=1-3S (ABB₁)=1-3x/(1+x+x²). Используя равенство S(A₁B₁C₁)=1/4 , получаем квадратное уравнение на x . Решая его и выбирая корень из промежутка от 0 до 1, получаем ответ.

Ответ

точки X, Y, Z должны делить соответствующие стороны в отношении $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	25
Год	1962
вариант
	1
Класс	8
Тур	1
задача
Номер	1