ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78278
Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
[ Основные свойства центра масс ]
[ Аналитический метод в геометрии ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB, BC, CA правильного треугольника ABC найти такие точки X, Y, Z (соответственно), чтобы площадь треугольника, образованного прямыми CX, BZ, AY, была вчетверо меньше площади треугольника ABC и чтобы было выполнено условие: $$\frac{AX}{XB}=\frac{BY}{YC}=\frac{CZ}{ZA}.$$

Решение

Обозначим через x=AX/XB=BY/YC=CZ/ZA . Можно считать, что 0 < x < 1 и S(ABC)=1 . Пусть A1B1C1 – треугольник, образованный прямыми CX, AY и BZ , причем A1 – вершина, ближайшая к A , B1 – к B , C1 – к C . Расположим в вершинах A, B и С массы x2, 1 и x соответственно. Тогда B1 – центр масс этой системы, откуда S(ABB1)=x/(1+x+x2). Тогда S(A1B1C1)=1-3S (ABB1)=1-3x/(1+x+x2). Используя равенство S(A1B1C1)=1/4 , получаем квадратное уравнение на x . Решая его и выбирая корень из промежутка от 0 до 1, получаем ответ.

Ответ

точки X, Y, Z должны делить соответствующие стороны в отношении $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 25
Год 1962
вариант
1
Класс 8
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .