Информация о задаче

Задача 78675

Темы:	[	Композиции симметрий	]
Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Две прямые на плоскости пересекаются под углом $\alpha$ . На одной из них сидит блоха. Каждую секунду она прыгает с одной прямой на другую (точка пересечения считается принадлежащей обеим прямым). Известно, что длина каждого её прыжка равна 1 и что она никогда не возвращается на то место, где была секунду назад. Через некоторое время блоха вернулась в первоначальную точку. Докажите, что угол $\alpha$ измеряется рациональным числом градусов.

Решение

Для каждого вектора прыжка имеется ровно два положения блохи, для которых прыжок задаётся этим вектором. Поэтому последовательность прыжков периодична тогда и только тогда, когда имеется лишь конечное число различных векторов прыжков. Пусть $\vec{a}_{1}$ — вектор прыжка блохи с прямой l₂ на прямую l₁; $\vec{a}_{2}$ , $\vec{a}_{3}$ , $\vec{a}_{4}$ , ... — векторы последующих прыжков. Тогда $\vec{a}_{2}$ = S_l₂( $\vec{a}_{1}$ ), $\vec{a}_{3}$ = S_l₁( $\vec{a}_{2}$ ), $\vec{a}_{4}$ = S_l₂( $\vec{a}_{3}$ ), ... Так как композиция S_l₁oS_l₂ является поворотом на угол 2 $\alpha$ (или на угол 2 $\pi$ - 2 $\alpha$ ), векторы $\vec{a}_{3}$ , $\vec{a}_{5}$ , $\vec{a}_{7}$ , ... получаются из вектора $\vec{a}_{1}$ поворотами на 2 $\alpha$ , 4 $\alpha$ , 6 $\alpha$ , ... (или на 2( $\pi$ - $\alpha$ ), 4( $\pi$ - $\alpha$ ), 6( $\pi$ - $\alpha$ ), ...). Поэтому набор $\vec{a}_{1}$ , $\vec{a}_{3}$ , $\vec{a}_{5}$ , ... содержит конечное число различных векторов тогда и только тогда, когда $\alpha$ / $\pi$ -- рациональное число. Набор $\vec{a}_{2}$ , $\vec{a}_{4}$ , $\vec{a}_{6}$ , ... рассматривается аналогично.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	31
Год	1968
вариант
	1
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	2