Имеется квадрат клетчатой бумаги размером 102×102 клетки и связная фигура неизвестной формы, состоящая из 101 клетки. Какое наибольшее число таких фигур можно с гарантией вырезать из этого квадрата? Фигура, составленная из клеток, называется связной, если любые две ее клетки можно соединить цепочкой ее клеток, в которой любые две соседние клетки имеют общую сторону.

   Решение

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Построения одной линейкой ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой AC, проведена биссектриса треугольника BD; отмечены середины E и F дуг BD окружностей, описанных около треугольников ADB и CDB соответственно (сами окружности не проведены). Постройте одной линейкой центры окружностей.

Решение

Заметим, что прямая EF является серединным перпендикуляром к BD. Поэтому точки K, L ее пересечения с AB и BC являются вершинами квадрата BKDL. Используя параллельные прямые BC и KD, разделим отрезок BC пополам (см. задачу 53775). Используя параллельные прямые AB и DL, построим параллельную им прямую, проходящую через середину BC (см. задачу 53776). Эта прямая является серединным перпендикуляром к BC и, значит, пересекает EF в центре описанной окружности треугольника BCD. Аналогично строится центр описанной окружности треугольника ABD.

Источники и прецеденты использования