В турнире по теннису (где не бывает ничьих) участвовало более 4 спортсменов. Каждый игровой день каждый теннисист принимал участие ровно в одной игре. К завершению турнира каждый сыграл с каждым в точности один раз. Назовём игрока упорным, если он выиграл хотя бы один матч и после первой своей победы ни разу не проигрывал. Остальных игроков назовём неупорными. Верно ли, что игровых дней, когда была встреча между неупорными игроками, больше половины?

   Решение

Темы:    [ Диаметр, основные свойства ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Катеты AC и CB прямоугольного треугольника ABC равны 15 и 8 соответственно. Из центра C радиусом CB описана дуга, отсекающая от гипотенузы часть BD. Найдите BD.

Решение

Опустим перпендикуляр CP на хорду BD. Тогда P – середина BD. Поскольку  BC·AC = 2S_ABC = AB·CP,  то  CP = ¹²⁰/₁₇.  По теореме Пифагора
PB² = BC² – CP² = (8 – ¹²⁰/₁₇)(8 + ¹²⁰/₁₇) = (⁶⁴/₁₇)².  Следовательно,   BD = 2PB = ¹²⁸/₁₇.

Ответ

¹²⁸/₁₇.

Источники и прецеденты использования