Даны два одинаково ориентированных квадрата $A_1A_2A_3A_4$ и $B_1B_2B_3B_4$. Серединные перпендикуляры к отрезкам $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$ пересекают серединные перпендикуляры к отрезкам $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$, $A_1B_1$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно. Докажите, что $PR\perp QS$.

   Решение

Тема:    [ Кубические многочлены ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Выразите через a и b действительный корень уравнения  x³ – a³ – b³ – 3abx = 0.
Найдите представления для двух комплексных корней этого уравнения.

Решение 1

Из равенства  (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)  ясно, что  x = a + b  – корень нашего уравнения. Поделив  x³ – a³ – b³ – 3abx  на  x – a – b,  получим квадратное уравнение  x² + (a + b)x + a² – ab + b²  и найдём его комплексные корни.

Решение 2

Согласно решению задачи 61259  x³ – a³ – b³ – 3abx = (x – a – b)(x – ωa – ω²b)(x – ω²a – ωb),  где ω – кубический корень из 1.

Ответ

x₁ = a + b,  x² = ωa + ω²b,  x³ = ω²a + ωb,  где ω – кубический корень из 1.

Источники и прецеденты использования