Отрезки $AA', BB'$ и $CC'$ с концами на сторонах остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$ внутри треугольника. На каждом из этих отрезков как на диаметре построена окружность, в которой перпендикулярно этому диаметру проведена хорда через точку $P$. Оказалось, что три проведённые хорды имеют одинаковую длину. Докажите, что $P$ – точка пересечения высот треугольника $ABC$.

   Решение

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Существует ли такое N и такие  N – 1  бесконечных арифметических прогрессий с разностями  2, 3, 4, ..., N,  что каждое натуральное число принадлежит хотя бы одной из этих прогрессий?

Решение

Положим  N = 12.  Каждое натуральное число можно записать в виде  12k + r,  где r – одно из чисел  0, 1, ..., 11.  Все числа, для которых r чётно принадлежат прогрессии  2, 4, 6, ...;  все числа, для которых r кратно 3, – прогрессии  3, 6, 9, ...  Остались числа с  r = 1, 5, 7 и 11.  Они покрываются прогрессиями  4k + 1,  6k + 7  и  12k + 11  (k = 0, 1, ...)  с разностями 4, 6 и 12.

Замечания

1. Другой пример – прогрессии  {1, 3, ...},  {2, 5,...},  {4, 8, ...},  {6, 12, ...},  {10, 22, ...}.

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования