Задача 66835

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Гальперин Г.А.

Отрезки $AA', BB'$ и $CC'$ с концами на сторонах остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$ внутри треугольника. На каждом из этих отрезков как на диаметре построена окружность, в которой перпендикулярно этому диаметру проведена хорда через точку $P$. Оказалось, что три проведённые хорды имеют одинаковую длину. Докажите, что $P$ – точка пересечения высот треугольника $ABC$.

Решение

Пусть 2$x$ – длина указанных хорд. По теореме о произведении отрезков хорд  $x^{2} = AP\cdot A'P = BP\cdot B'P = CP\cdot C'P$.  По обратной теореме точки $A, A', B$ и $B'$ лежат на одной окружности. Значит,
∠$AA'B$ = ∠$AB'B$.  Аналогично  ∠$AA'C$ = ∠$AC'C$,  ∠$BB'C$ = ∠$BC'C$.  Следовательно,  ∠$AA'B$ = ∠$AB'B$ = 180° – ∠$BB'C$ = 180° – ∠$BC'C$ = ∠$AC'C$ = ∠$AA'C$,  то есть $AA'$ – высота. Аналогично $BB'$ и $CC'$ – высоты.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Номер	41
Год	2019/20
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	2