|
|
 |
Условие
Отрезки AA′,BB′ и CC′ с концами на сторонах остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке P внутри треугольника. На каждом из этих отрезков как на диаметре построена окружность, в которой перпендикулярно этому диаметру проведена хорда через точку P. Оказалось, что три проведённые хорды имеют одинаковую длину. Докажите, что P – точка пересечения высот треугольника ABC.
Решение
Пусть 2x – длина указанных хорд. По теореме о произведении отрезков хорд x2=AP⋅A′P=BP⋅B′P=CP⋅C′P. По обратной теореме точки A,A′,B и B′ лежат на одной окружности. Значит,
∠AA′B = ∠AB′B. Аналогично ∠AA′C = ∠AC′C, ∠BB′C = ∠BC′C. Следовательно, ∠AA′B = ∠AB′B = 180° – ∠BB′C = 180° – ∠BC′C = ∠AC′C = ∠AA′C, то есть AA′ – высота. Аналогично BB′ и CC′ – высоты.
Замечания
5 баллов
