ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 66834  (#1)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Многочлен P(x, y) таков, что для всякого целого $n\geqslant 0$ каждый из многочленов P(n, y) и P(x, n) либо тождественно равен нулю, либо имеет степень не выше n. Может ли многочлен P(x, x) иметь нечётную степень?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66835  (#2)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Отрезки AA′, BB′ и CC′ с концами на сторонах остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке P внутри треугольника. На каждом из этих отрезков как на диаметре построена окружность, в которой перпендикулярно этому диаметру проведена хорда через точку P. Оказалось, что три проведённые хорды имеют одинаковую длину. Докажите, что P – точка пересечения высот треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66829  (#3)

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Взвешивания ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Есть 100 внешне неразличимых монет трёх типов: золотые, серебряные и медные (каждый тип встречается хотя бы раз). Известно, что золотые весят по 3 г, серебряные – по 2 г, медные – по 1 г. Как на чашечных весах без гирек определить тип у всех монет не более чем за 101 взвешивание?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66837  (#4)

Темы:   [ Числовые последовательности (прочее) ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Дана возрастающая последовательность положительных чисел $$...< a_{-2} < a{-1} < a_{0} < a_{1} < a_{2} < ...,$$ бесконечная в обе стороны. Пусть $b_k$ – наименьшее целое число со свойством: отношение суммы любых k подряд идущих членов данной последовательности к наибольшему из этих k членов не превышает $b_k$. Докажите, что последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}, ...$ либо совпадает с натуральным рядом 1, 2, 3, ..., либо с некоторого момента постоянна.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66838  (#5)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники ]
[ Описанные четырехугольники ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Точка M лежит внутри выпуклого четырёхугольника ABCD на одинаковом расстоянии от прямых AB и CD и на одинаковом расстоянии от прямых BC и AD. Оказалось, что площадь четырёхугольника ABCD равна $MA\cdot MC+MB\cdot MD$. Докажите, что четырёхугольник ABCD
а) вписанный;
б) описанный.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .