|
|
 |
Условие
Точка $M$ лежит внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$ на одинаковом расстоянии от прямых $AB$ и $CD$ и на одинаковом расстоянии от прямых $BC$ и $AD$.
Оказалось, что площадь четырёхугольника $ABCD$ равна $MA\cdot MC + MB\cdot MD$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$
а) вписанный;
б) описанный.
Решение
а) Опустим перпендикуляры $MP, MQ, MR, MT$ на прямые $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Тогда $S_{ABCD} = S_{AMB} + S_{BMC} + S_{CMD} + S_{DMA} \leqslant (S_{AMP} + S_{BMP}) + (S_{BMQ} + S_{CMQ}) + (S_{CMR} + S_{DMR}) + (S_{DMS} + S_{AMT})$ =
= $(S_{AMP} + S_{CMR}) + (S_{BMP} + S_{DMR}) + (S_{BMQ} + S_{DMT}) + (S_{CMQ} + S_{AMT})$. Заметим, что прямоугольные треугольники $AMP$ и $CMR$ имеют равные катеты $MP$ и $MR$, поэтому из них можно сложить треугольник Δ, две стороны которого равны $MA$ и $MC$, а значит, $S_{AMP} + S_{CMR} = S_{\Delta} \leqslant \frac{1}{2} MA\cdot MC$.
Аналогично $S_{BMP} + S_{DMR} \leqslant\frac{1}{2} MB\cdot MD$, $S_{BMQ} + S_{DMS} \leqslant \frac{1}{2} MB\cdot MD$, $S_{CMQ} + S_{AMS} \leqslant \frac{1}{2} MA\cdot MC$.
Следовательно, $S_{ABCD} \leqslant MA\cdot MC+MB\cdot MD$. Из условия видно, что все предыдущие неравенства на самом деле являются равенствами. Это значит, что, во-первых, точки $P, Q, R, T$ лежат на соответствующих сторонах четырёхугольника и, во-вторых, треугольник Δ прямоугольный, то есть ∠$MAP$ + ∠$MCR$ = 90°.
Аналогично ∠$MAD$ + ∠$MCQ$ = 90°, откуда
∠ $BAD$ + ∠$BCD$ = (∠$MAP$ + ∠$MCR$) + (∠$MAT$ + ∠$MCQ$) = 180°, то есть четырёхугольник вписанный.
б) Из прямоугольного треугольника Δ (см. а)) видно, что $AP + RC = \sqrt{MA^2 + MC^2}$. Аналогично $BP + RD = \sqrt{MB^2 + MD^2}$. Следовательно, $AB + CD = \sqrt{MA^2 + MC^2} + \sqrt{MB^2 + MD^2}$. Вычисляя похожим образом сумму $BC + DA$, мы получим тот же результат.
Замечания
1. Можно доказать, что площадь любого вписанно-описанного четырёхугольника $ABCD$ равна MA·MC + MB·MD, где М – центр вписанной окружности этого четырёхугольника.
2. Баллы: 6 + 6.
