|
|
 |
Условие
Многочлен $P(x, y)$ таков, что для всякого целого $n\geqslant 0$ каждый из многочленов $P(n, y)$ и $P(x, n)$ либо тождественно равен нулю, либо имеет степень не выше $n$.
Может ли многочлен $P(x, x)$ иметь нечётную степень?
Решение
Пусть наибольшая степень, в которой встречается $x$, равна $m$, а наибольшая степень, в которой встречается $y$, равна $n$, Для определенности положим
$n\geqslant m$. Запишем многочлен $P(x, y)$ в виде
А$(x)y^n + B(x)y^{n-1} + ... $, где $A(x), B(x)$, ... – многочлены от $x$. Поскольку при всех целых $0 \leqslant k < n$ степень многочлена $P(k, y) = А(k)y^n + B(k)y^{n-1} + ...$ меньше $n$,
то $A(0) = A(1) = ... = А(n - 1) = 0$. У многочлена $A(x)$ есть $n$ различных корней, поэтому его степень не меньше $n$. Но она не больше $m$, значит, $m = n$. При этом одночлен $x^ny^n$ заведомо встречается в произведении $А(x)y^n$ и не встречается в остальных произведениях, поэтому deg $P(x, x) = 2n$.
Ответ
Не может.
Замечания
1. Можно показать, что условию задачи удовлетворяют все многочлены следующего вида и только они: $c_{0} + xy(c_{1} + (x - 1)(y - 1)(c_{2} + ... + (c_k + ((x - k)(y - k)c_{k + 1})...)$, где $k$ – неотрицательное целое число, $c_{0}, ..., c_{k+1}$ – константы.
2. 5 баллов.
