Задача 66834

Темы:    [ Многочлены (прочее) ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Многочлен  $P(x, y)$  таков, что для всякого целого  $n\geqslant 0$  каждый из многочленов  $P(n, y)$  и  $P(x, n)$  либо тождественно равен нулю, либо имеет степень не выше $n$.
Может ли многочлен  $P(x, x)$ иметь нечётную степень?

Решение

Пусть наибольшая степень, в которой встречается $x$, равна $m$, а наибольшая степень, в которой встречается $y$, равна $n$, Для определенности положим  $n\geqslant m$.  Запишем многочлен  $P(x, y)$  в виде
 А$(x)y^n + B(x)y^{n-1} + ...$,  где $A(x), B(x)$, ... – многочлены от $x$. Поскольку при всех целых  $0 \leqslant k < n$  степень многочлена  $P(k, y) = А(k)y^n + B(k)y^{n-1} + ...$  меньше $n$, то  $A(0) = A(1) = ... = А(n - 1) = 0$.  У многочлена $A(x)$ есть $n$ различных корней, поэтому его степень не меньше $n$. Но она не больше $m$, значит,  $m = n$.  При этом одночлен $x^ny^n$ заведомо встречается в произведении $А(x)y^n$ и не встречается в остальных произведениях, поэтому  deg $P(x, x) = 2n$.

Ответ

Не может.

Замечания

1. Можно показать, что условию задачи удовлетворяют все многочлены следующего вида и только они:  $c_{0} + xy(c_{1} + (x - 1)(y - 1)(c_{2} + ... + (c_k + ((x - k)(y - k)c_{k + 1})...)$,  где $k$ – неотрицательное целое число, $c_{0}, ..., c_{k+1}$ – константы.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Номер	41
Год	2019/20
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	1