Версия для печати
Убрать все задачи

---

На совместной конференции партий лжецов и правдолюбов в президиум было избрано 32 человека, которых рассадили в четыре ряда по 8 человек. В перерыве каждый член президиума заявил, что среди его соседей есть представители обеих партий. Известно, что лжецы всегда лгут, а правдолюбы всегда говорят правду. При каком наименьшем числе лжецов в президиуме возможна описанная ситуация? (Два члена президиума являются соседями, если один из них сидит слева, справа, спереди или сзади от другого.)

   Решение

Темы:    [ Теорема о сумме квадратов диагоналей ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Подсказка

Выразите по теореме косинусов квадраты диагоналей из соответствующих треугольников и сложите почленно полученные равенства.

Решение

Пусть AC и BD — диагонали параллелограмма ABCD. По теореме косинусов из треугольников ABD и ACD находим, что

Следовательно,

Источники и прецеденты использования