Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
AB и A1B1 — два скрещивающихся отрезка. O и O1 — соответственно их середины. Докажите, что отрезок OO1 меньше полусуммы отрезков AA1 и BB1.
Один из четырёх углов, образующихся при пересечении двух прямых, равен 41°. Чему равны три остальных угла?
Какое самое большое число ладей можно поставить на шахматную доску 8 на 8 так, чтобы они не били друг друга?
Центр вписанной окружности треугольника ABC
симметричен центру описанной окружности относительно стороны AB.
Найдите углы треугольника ABC.
|
|
 |
Условие
Пусть $O$ – центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, точка $M$ – середина стороны $AC$. Прямая $BO$ пересекает высоты $AA_1$ и $CC_1$ в точках $H_a$ и $H_c$ соответственно. Описанные окружности треугольников $BH_aA$ и $BH_cC$ вторично пересекаются в точке $K$. Докажите, что $K$ лежит на прямой $BM$.
Решение 1
Пусть $BD$ – диаметр описанной окружности треугольника $ABC$. Поскольку $\angle ADB = \angle C$, имеем: $$\angle CAH_a = \angle CAA_1 = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - \angle ADB = \angle ABH_a.$$ Следовательно, сторона $AC$ касается описанной окружности треугольника $BH_aA$. Аналогично она касается описанной окружности треугольника $BH_сС$. Как известно, радикальная ось $BK$ этих двух окружностей проходит через середину $M$ отрезка $AC$ их общей касательной.
Решение 2
Пусть $B'$ – точка, симметричная точке $B$ относительно точки $M$, а описанная окружность треугольника $ACB'$ пересекает медиану $BM$ в точке $K$. Тогда внешний угол $AKB'$ треугольника $AKB$ равен $\angle ACB' = \angle A$ (см. далее рисунок слева). Но и внешний угол $BH_aA_1$ треугольника $AH_aB$ равен $\angle BAA_1 + \angle ABO = 90^\circ - \angle B + 90^\circ - \angle C = \angle A$ (см. далее рисунок справа). Поэтому $\angle AKB = \angle AH_aB$, то есть точка $K$ лежит на описанной окружности треугольника $BH_aA$. Аналогично она лежит на описанной окружности треугольника $BH_сС$.
