Из точки P, расположенной внутри острого угла BAC, опущены перпендикуляры PC₁ и PB₁ на прямые AB и AC. Докажите, что  ∠C₁AP = ∠C₁B₁P.

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

  Рассматриваются решения уравнения  ¹/_x + ¹/_y = ¹/_p  (p > 1),  где x, y и p – натуральные числа. Докажите, что если p – простое число, то уравнение имеет ровно три решения; если p – составное, то решений больше трёх  ((a, b)  и  (b, a) – различные решения, если  a ≠ b).

Решение

Запишем уравнение в виде  px + py = xy,  или  (х – р)(у – р) = р².  При простом р отсюда следует, что  x – р = 1,  у – р = р²,  или  х – р = р,  у – р = р, или
х – р = р²,  у – р = 1.  Если же р составное, то р² раскладывается на множители и другими способами.

Источники и прецеденты использования