Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
Дан равносторонний треугольник ABC. Для произвольной точки P внутри треугольника рассмотрим точки A' и C' пересечения прямых AP с BC и CP с BA соответственно. Найдите геометрическое место точек P, для которых отрезки AA' и CC' равны.
Окружность C1 радиуса 2 с центром O1
и окружность C2 радиуса
с центром O2
расположены так, что
O1O2 = 2
. Прямая l1
касается окружностей в точках A1 и A2, а прямая
l2— в точках B1 и B2. Окружности C1
и C2 лежат по одну сторону от прямой l1 и
по разные стороны от прямой l2,
A1
C1,
B1
C1,
A2
C2,
B2
C2,
точки A1 и B1 лежат по разные стороны от прямой
O1O2. Через точку B1 проведена прямая l3,
перпендикулярная прямой l2. Прямая l1 пересекает
прямую l2 в точке A, а прямую l3 — в точке
B. Найдите
A1A2,
B1B2 и стороны
треугольника ABB1.
|
|
 |
Условие
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана
одна его вершина и три прямых, на которых лежат его биссектрисы.
Подсказка
Если A — данная вершина искомого треугольника, принадлежащая одной из трёх данных прямых, то точки, симметричные точке A относительно двух других данных прямых, лежат на прямой, содержащей сторону искомого треугольника.
Решение
Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть A — его вершина, лежащая на данной прямой l1, а вершины B и C лежат на данных прямых l2 и l3. Тогда точка M, симметричная точке A относительно прямой l2, и точка N, симметричная точке A относительно прямой l3, лежат на прямой BC.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точки M и N, симметричные данной точке A (лежащей на данной прямой l1) относительно данных прямых l2 и l3. Прямая MN пересекает прямые l2 и l3 в вершинах B и C искомого треугольника ABC.
Замечания
В "Задачнике Кванта" данная задача формулировалась так:На плоскости даны три прямые, пересекающиеся в одной точке. На одной из них отмечена точка. Известно, что прямые являются биссектрисами некоторого треугольника, а отмеченная
