Информация о задаче

Задача 101870

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
Темы:	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Пусть K — точка пересечения его диагоналей. Известно, что AB > BC > KC, BK = 4 + $\sqrt{2}$ , а периметр и площадь треугольника BKC равны соответственно 14 и 7. Найдите DC.

Подсказка

Применив формулу Герона, найдите стороны треугольника BKC. Докажите, что AC $\perp$ BD. Докажите также, что если диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны.

Решение

Пусть p = 7 — полупериметр, S = 7 — площадь треугольника BKC; L, M и N — точки касания вписанной окружности этого треугольника со сторонами BC, KC и BK соответственно. Обозначим KM = KN = x, BL = BN = y. Тогда

p - BK = 7 - (4 + $\displaystyle \sqrt{2}$ ) = 3 - $\displaystyle \sqrt{2}$ , p - BC = KM = x,

p - KC = BL = y, x + y = KN + BN = 4 + $\displaystyle \sqrt{2}$ .

По формуле Герона S = $\sqrt{p(p-BK)(p-BC)(p-KC)}$ , или 7 = $\sqrt{7(3-\sqrt{2})xy}$ . Отсюда находим, что

xy = $\displaystyle {\frac{7}{3-\sqrt{2}}}$ = 3 + $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Поскольку x + y = 4 + $\sqrt{2}$ , то числа x и y являются корнями квадратного уравнения t² - (4 + $\sqrt{2}$ )t + 3 + $\sqrt{2}$ = 0. Значит, x = 1, y = 3 + $\sqrt{2}$ либо x = 3 + $\sqrt{2}$ , y = 1.

В первом из этих случаев

BC = BL + LC = BL + (p - BK) = y + 7 - (4 + $\displaystyle \sqrt{2}$ ) = 3 + $\displaystyle \sqrt{2}$ + 3 - $\displaystyle \sqrt{2}$ = 6,

KC = KM + MC = KM + (p - BK) = x + 7 - (4 + $\displaystyle \sqrt{2}$ ) = 1 + 3 - $\displaystyle \sqrt{2}$ = 4 - $\displaystyle \sqrt{2}$ < 6 = BC,

во втором —

BC = BL + LC = BL + (p - BK) = y + 7 - (4 + $\displaystyle \sqrt{2}$ ) = 1 + 3 - $\displaystyle \sqrt{2}$ = 4 - $\displaystyle \sqrt{2}$ ,

KC = KM + MC = KM + (p - BK) = x + 7 - (4 + $\displaystyle \sqrt{2}$ ) = 3 + $\displaystyle \sqrt{2}$ + 3 - $\displaystyle \sqrt{2}$ = 6 > 4 - $\displaystyle \sqrt{2}$ > BC,

что не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, BC = 6, KC = 4 - $\sqrt{2}$ .

Поскольку

BK² + KC² = (4 + $\displaystyle \sqrt{2}$ )² + (4 - $\displaystyle \sqrt{2}$ )² = 36 = BC²,

то треугольник BKC прямоугольный, $\angle$ BKC = 90^o. Значит, диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны.

Докажем, что если диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны.

Действительно, пусть диагонали AC и BD такого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K. По теореме Пифагора

AB² + CD² = (KA² + KB²) + (KC² + KD²) = (KA² + KD²) + (KB² + KC²) = AD² + BC².

Пусть для четырёхугольника ABCD из нашей задачи AB = a, BC = b, CD = c и AD = d. Поскольку в него можно вписать окружность, то a + c = b + d. Кроме того, по доказанному a² + c² = b² + d². Тогда

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} a+c=b+d\\ a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}\\ a>b \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} a+c=b+d\\ a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}\\ a>b \end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} a-b=d-c\\ a^{2}-b^{2}=d^{2}-c^{2}\\ a>b \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} a-b=d-c\\ a^{2}-b^{2}=d^{2}-c^{2}\\ a>b \end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} a-b=d-c\\ (a-b)(a+b)=(d-c)(d+c)\\ a>b \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} a-b=d-c\\ (a-b)(a+b)=(d-c)(d+c)\\ a>b \end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} a-b=d-c\\ (a-b)(a+b)=(a-b)(d+c)\\ a>b \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} a-b=d-c\\ (a-b)(a+b)=(a-b)(d+c)\\ a>b \end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} a-b=d-c\\ a+b=d+c\\ a>b \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} a-b=d-c\\ a+b=d+c\\ a>b \end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} a=d\\ b=c\\ a>b. \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} a=d\\ b=c\\ a>b. \end{array}$

Следовательно, CD = c = b = BC = 6.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3960