Задача 101874

Темы:    [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Через точку X, лежащую внутри параллелограмма, проведены прямые, параллельные его сторонам. Тогда два образовавшихся при этом параллелограмма с единственной общей вершиной X равновелики тогда и только тогда, когда точка X лежит на диагонали параллелограмма.

Подсказка

Пусть точка X лежит внутри параллелограмма ABCD. Если S_ABCX = S_ADCX, то точка X лежит на диагонали AC.

Решение

Пусть точка X лежит внутри параллелограмма ABCD, прямая, проведённая через эту точку параллельно стороне AB, пересекает стороны AD и BC соответственно в точках P и Q, а прямая, проведённая через эту точку параллельно стороне BC, пересекает стороны AB и CD соответственно в точках R и S. Тогда четырёхугольники ARXQ, XPCS, RBPX и QXSD — параллелограммы. Если точка X лежит на диагонали AC (рис.1), то

S_ABC = S_ADC, S_ARX = S_APX, S_XQC = S_XSC.

Следовательно,

S_RBQX = S_ABC - S_ARX - S_XQC = S_ADC - S_APX - S_XSC = S_PXSD,

что и требовалось доказать. Обратно, пусть точка X лежит внутри параллелограмма ABCD и S_RBPX = S_QXSD (рис.2). Поскольку

S_ARX = S_APX и S_XQC = S_XSC,

то

S_ABCX = S_ARX + S_XQC + S_RBQX = S_APX + S_XSC + S_PXSD = S_ADCX = S_ABCD.

Следовательно, точка X лежит на диагонали AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3220