Задача 101876

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на его гипотенузу, делит биссектрису острого угла в отношении  4 : 3,  считая от вершины.
Найдите величину этого угла.

Подсказка

Пусть высота CD, проведённая из вершины C прямого угла прямоугольного треугольника ABC, пересекает биссектрису AK угла A в точке O. Прямоугольные треугольники DAO и KAC подобны по двум углам.

Решение

Пусть высота CD, проведённая из вершины C прямого угла прямоугольного треугольника ABC, пересекает биссектрису AK угла A в точке O. Прямоугольные треугольники DAO и CAK подобны по двум углам, следовательно,  cos∠A = ^AD/_AC = ^AO/_AK = ⁴/₇.

Ответ

arccos ⁴/₇.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3615