ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 101880
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности с центрами O и Q, пересекающиеся друг с другом в точках A и B, пересекают биссектрису угла OAQ в точках C и D соответственно. Отрезки AD и OQ пересекаются в точке E, причём площади треугольников OAE и QAE равны 18 и 42 соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OAQD и отношение  BC : BD.


Подсказка

Треугольники DEQ и AEO подобны, как и треугольники BCD и AOQ.


Решение

  Заметим, что  EQ : EO = SQAE : SOAE = 7 : 3.
  Треугольник AQD – равнобедренный, поэтому  ∠OAD = ∠QAD = ∠QDA.  Значит,  QD || OA,  поэтому треугольники DEQ и AEO подобны с коэффициентом подобия  EQ/EO = 7/3.  Значит,  SDEQ = 49/9 SAEO = 98,  а  SODE = 3/7 SQDE = 42.
  Следовательно,  SOAQD = SQAE + SOAE + SODE + SQDE = 42 + 18 + 42 + 98 = 200.
 ∠AQO = ½ ∠AQB = ∠ADB,  ∠BCD = 180° – ∠ACB = ½ ∠AOB = ∠AOQ.  Из доказанных равенств углов следует подобие треугольников BCD и AOQ. Следовательно,  BC : BD = AO : AQ = EO : EQ = 3 : 7.


Ответ

200;  3 : 7.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3619

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .