Задача 101880

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Две окружности с центрами O и Q, пересекающиеся друг с другом в точках A и B, пересекают биссектрису угла OAQ в точках C и D соответственно. Отрезки AD и OQ пересекаются в точке E, причём площади треугольников OAE и QAE равны 18 и 42 соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OAQD и отношение  BC : BD.

Подсказка

Треугольники DEQ и AEO подобны, как и треугольники BCD и AOQ.

Решение

  Заметим, что  EQ : EO = S_QAE : S_OAE = 7 : 3.
  Треугольник AQD – равнобедренный, поэтому  ∠OAD = ∠QAD = ∠QDA.  Значит,  QD || OA,  поэтому треугольники DEQ и AEO подобны с коэффициентом подобия  ^EQ/_EO = ⁷/₃.  Значит,  S_DEQ = ⁴⁹/₉ S_AEO = 98,  а  S_ODE = ³/₇ S_QDE = 42.
  Следовательно,  S_OAQD = S_QAE + S_OAE + S_ODE + S_QDE = 42 + 18 + 42 + 98 = 200.
 ∠AQO = ½ ∠AQB = ∠ADB,  ∠BCD = 180° – ∠ACB = ½ ∠AOB = ∠AOQ.  Из доказанных равенств углов следует подобие треугольников BCD и AOQ. Следовательно,  BC : BD = AO : AQ = EO : EQ = 3 : 7.

Ответ

200;  3 : 7.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3619